Por qué un peso adicional no vale siempre lo mismo: la utilidad esperada

¿Cuánto pagarías por participar en un juego donde, en teoría, podrías ganar una cantidad infinita de dinero? La respuesta intuitiva de casi cualquier persona —"poco"— es, en realidad, el punto de partida de una de las ideas más influyentes de la teoría de la decisión: la utilidad esperada.

Sabías que… el problema surgió de un juego de azar del siglo XVIII

El matemático suizo Daniel Bernoulli presentó en 1738, ante la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo, una solución a lo que hoy se conoce como la "paradoja de San Petersburgo". El juego era simple: se lanza una moneda repetidamente hasta que sale cara por primera vez; si eso ocurre en el lanzamiento número n, el premio es 2 elevado a n. El problema es que el valor esperado de ese premio, calculado de la forma matemática habitual, es infinito. Sin embargo, nadie en su sano juicio pagaría una suma enorme por jugar.

Bernoulli resolvió la paradoja proponiendo que las personas no valoran el dinero de forma lineal, sino según su utilidad: cada unidad adicional de riqueza aporta menos satisfacción que la anterior, un principio que hoy llamamos utilidad marginal decreciente. Con una función de utilidad logarítmica, el valor esperado del juego —medido en utilidad, no en dinero— resulta finito y razonable, lo que explica por qué nadie apostaría una fortuna por él.

Contexto histórico: dos siglos hasta la formalización completa

La intuición de Bernoulli quedó como una curiosidad matemática durante casi dos siglos. No fue hasta 1944, con la publicación de Theory of Games and Economic Behavior por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern, que la idea se convirtió en una teoría formal y rigurosa. Von Neumann y Morgenstern demostraron que, si las preferencias de una persona cumplen un conjunto reducido de axiomas de consistencia (comparabilidad, transitividad, continuidad e independencia, entre otros), esas preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad, y la persona actuará como si maximizara la utilidad esperada de sus decisiones.

Von Neumann y Morgenstern no afirmaron que las personas calculen utilidades conscientemente, sino que un decisor consistente con esos axiomas se comporta como si lo hiciera.

Sabías que… esta teoría fue diseñada originalmente para la teoría de juegos

El libro de von Neumann y Morgenstern no trataba principalmente sobre utilidad esperada: era, ante todo, el texto fundacional de la teoría de juegos, un área de las matemáticas aplicadas que analiza la interacción estratégica entre varios decisores. La formalización de la utilidad esperada apareció como una herramienta necesaria para poder comparar resultados inciertos dentro de esos juegos, y terminó siendo uno de los aportes más citados del libro fuera del campo de la teoría de juegos en sí.

Los límites del modelo

La teoría de la utilidad esperada se convirtió en el estándar para modelar decisiones bajo riesgo durante buena parte del siglo XX, pero pronto encontró objeciones empíricas serias. El economista francés Maurice Allais mostró en 1953 un conjunto de decisiones (hoy conocido como la "paradoja de Allais") en las que personas razonables violan sistemáticamente uno de los axiomas de von Neumann y Morgenstern. Más adelante, la teoría prospectiva de Kahneman y Tversky —que exploramos en otro artículo de Escosie— propondría un modelo alternativo, más fiel al comportamiento observado, aunque menos elegante matemáticamente.